Пусть P - силовская p-подгруппа группы G. … Если G проста, то она имеет 10 подгрупп порядка 3 и 6 подгрупп порядка 5. Однако, поскольку эти группы все циклические простого порядка любой нетривиальный элемент из G содержится не более чем в одной из этих групп.
Являются ли P-группы циклическими?
Тривиальная группа – это единственная группа первого порядка, а циклическая группа C p – единственная группа порядка p.
Являются ли подгруппы циклическими?
Теорема: Все подгруппы циклической группы являются циклическими. Если G=⟨a⟩ циклическая, то для любого делителя d |G| существует ровно одна подгруппа порядка d, которая может быть порождена a|G|/d a | г | / д. Доказательство. Пусть |G|=dn | г |=д н.
Являются ли силовские подгруппы P нормальными?
Если G имеет ровно одну силовскую p-подгруппу, она должна быть нормальной, поскольку единственная подгруппа заданного порядка равна нормальной. Предположим, что силовская p-подгруппа P нормальна. Тогда оно равняется своим сопряженным. Таким образом, по третьей теореме Силова может быть только одна такая силовская p-подгруппа.
Являются ли силовские P-подгруппы абелевыми?
Мы доказываем, что силовские p-подгруппы конечной группы G абелевы тогда и только тогда, когда размеры классов p-элементов группы G взаимно просты с p, и, если p ∈ { 3, 5 }, степень каждого неприводимого характера в главном p-блоке G взаимно проста с p.
