В общем случае произведение двух подгрупп S и T является подгруппой тогда и только тогда, когда ST=TS, и говорят, что эти две подгруппы перестановочны.
Что делает подгруппу подгруппой?
Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных . … Тождество подгруппы является тождеством группы: если G - группа с тождеством eG, а H - подгруппа G с тождеством eH, тогда eH=eG.
Почему пересечение двух подгрупп является подгруппой?
По крайней мере, элемент идентичности 'e' является общим как для H1, так и для H2. Так как H1 и H2 являются подгруппами. Следовательно, H1 ∩ H2 является подгруппой G, и это наша теорема, т. е. пересечение двух подгрупп группы снова является подгруппой.
Является ли произведение двух нормальных подгрупп нормальным?
Подмножество произведений нормальных подгрупп является нормальным.
Является ли объединение двух подгрупп подгруппой, если не привести пример?
Если группа G является объединением двух собственных подгрупп H1 и H2, то мы должны иметь H1⊄H2 и H2⊄H1, иначе G=H1 или G=H2, а это невозможно, так как H1, H2 собственные подгруппы. Тогда G=H1∪H2 является подгруппой группы G, что запрещено пунктом (a). Таким образом, ни одна группа не может быть объединением собственных подгрупп.
