Первая теорема, которую Пью доказывает после определения интеграла Римана, заключается в том, что интегрируемость подразумевает ограниченность. Это теорема 15 на странице 155 в моем издании. Это показывает, что сначала нужно договориться об определениях.
Влечет ли интегрируемость по Риману ограниченность?
Теорема 4. Каждая интегрируемая по Риману функция ограничена.
Интегрируемы ли неограниченные функции?
Неограниченная функция не является интегрируемой по Риману. В дальнейшем «интегрируемый» будет означать «интегрируемый по Риману», а «интегральный» будет означать «интегральный по Риману», если явно не указано иное. f(x)={ 1/x, если 0 < x ≤ 1, 0, если x=0. Таким образом, верхние суммы Римана f не определены корректно.
Является ли интегрируемая по Лебегу функция ограниченной?
Измеримые ограниченные функции эквивалентны интегрируемым по Лебегу функциям. Если f - ограниченная функция, определенная на измеримом множестве E с конечной мерой. Тогда f измерима тогда и только тогда, когда f интегрируема по Лебегу. … С другой стороны, измеримые функции «почти» непрерывны.
Как узнать, интегрируема ли функция по Лебегу?
Если функции f, g такие, что f=g почти всюду, то f интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда g интегрируема по Лебегу, а интегралы от f и g равны то же самое, если они существуют.
