Примечание: верно, что каждая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, и, кроме того, всякая монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена. Добавлено См. запись в теореме о монотонной сходимости для получения дополнительной информации о гарантированной сходимости ограниченных монотонных последовательностей.
Всякая ли ограниченная последовательность сходится в R?
Теорема утверждает, что каждая ограниченная последовательность в R имеет сходящуюся подпоследовательность. Эквивалентная формулировка состоит в том, что подмножество R секвенциально компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Эту теорему иногда называют теоремой секвенциальной компактности.
Всякая ли ограниченная последовательность действительных чисел сходится?
Ответ и объяснение: (a) Всякая ли ограниченная последовательность сходится? Нет.
Сходится ли всякая ограниченная монотонная последовательность?
Не все ограниченные последовательности, такие как (−1)n, сходятся, но если бы мы знали, что ограниченная последовательность монотонна, то это изменилось бы. если an ≥ an+1 для всех n ∈ N. Последовательность монотонна, если она либо возрастает, либо убывает. и ограничена, то она сходится.
Все ли ограниченные последовательности имеют сходящуюся подпоследовательность?
Теорема Больцано-Вейерштрасса: Каждая ограниченная последовательность в Rn имеет сходящуюся подпоследовательность. {xmk} является ограниченной последовательностью действительных чисел, поэтому она также имеет сходящуюся подпоследовательность, … И наоборот, каждая ограниченная последовательность находится взамкнутое и ограниченное множество, поэтому оно имеет сходящуюся подпоследовательность.
