В математике подмножество топологического пространства называется нигде не плотным или редким, если его замыкание имеет пустую внутренность. В очень широком смысле это множество, элементы которого нигде не сгруппированы плотно. Например, целые числа нигде не бывают плотными среди действительных чисел, а открытый шар - нет.
Является ли 1 N нигде не плотным?
Примером незамкнутого, но нигде не плотного множества является {1n|
∈N}. У него есть одна предельная точка, которой нет в множестве (а именно 0), но его замыкание по-прежнему нигде не плотно, потому что никакие открытые интервалы не помещаются в {1n|n∈N}∪{0}.
Как доказать, что множество нигде не плотно?
Подмножество A ⊆ X называется нигде не плотным в X, если внутренность замыкания A пуста, т. е. (A)◦=∅. Иначе говоря, A нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно содержится в замкнутом множестве с пустой внутренностью. Переходя к дополнениям, мы можем эквивалентно сказать, что A нигде не плотно тогда и только тогда, когда его дополнение содержит плотное открытое множество (почему?).
Что значит везде плотно?
Подмножество A топологического пространства X плотно, для которого замыканием является все пространство X (некоторые авторы используют терминологию везде плотно). Распространенное альтернативное определение: множество A, которое пересекает каждое непустое открытое подмножество X.
Каждое ли плотное множество открыто?
Топологическое пространство X гиперсвязно тогда и только тогда, когда всякое непустое открытое множество плотно в X. Топологическое пространство субмаксимально тогда и только тогда, когдакаждое плотное подмножество открыто.
