В общем случае поточечная сходимость не означает сходимости по мере. Однако для пространства с конечной мерой это верно, и на самом деле в этом разделе мы увидим, что верно гораздо больше.
Влечет ли сходимость почти всюду сходимость по мере?
Пространство мер, о котором идет речь, всегда конечно, потому что вероятностные меры присваивают вероятность 1 всему пространству. В пространстве с конечной мерой сходимость почти всюду влечет сходимость по мере. Поэтому почти сходимость подразумевает сходимость по вероятности.
Означает ли поточечная сходимость непрерывность?
Хотя каждая fn непрерывна на [0, 1], их поточечный предел f не является непрерывным (он разрывен в 1). Таким образом, поточечная сходимость, вообще говоря, не сохраняет непрерывности.
Означает ли сходимость в L1 поточечную сходимость?
Таким образом, поточечная сходимость, равномерная сходимость и L1-сходимость не влекут друг друга. Однако у нас есть несколько положительных результатов: Теорема 7. Если fn → f в L1, то существует подпоследовательность fnk такая, что fnk → f поточечно п.в.
Что такое сходимость в теории меры?
В математике, а точнее в теории меры, существуют различные понятия сходимости мер. Для интуитивного общего понимания того, что подразумевается под сходимостью по мере, рассмотрим последовательность мер µ в пространстве, делясь общей коллекциейизмеримых множеств.
